数学特論４

結び目理論

講義概要：

位相幾何学（トポロジー）は位置（＝位）と形（＝相）を扱う幾何学です。形は多様体論として、位置は結び目理論として研究されています。結び目は、様々な数学的手法で研究されていますが、本講義では、基本群とホモロジー群を必要とせず、ザイフェルト行列からアレキサンダー多項式を導入する方法で結び目の不変量を構成します。

授業の到達目標：

結び目の古典的不変量を理解すること。また、結び目からザイフェルト行列を作り、アレキサンダー多項式を計算できるようになること。最終的に、様々な結び目の古典的不変量を、アレキサンダー多項式等から評価できるようになることが目標です。

事前・事後学習の内容：

予備知識としては線形代数（行列式等）と位相空間（同相写像等）になります。

授業計画：

第１回　結び目理論の基礎概念結び目の同値関係について学びます。また、結び目の半群、結び目のコボルディズム群について学びます。
第２回　結び目のリスト、結び目理論の基本問題結び目の正則表示と表について学びます。また、結び目の大域的問題、及び、局所的問題について学びます。
第３回　結び目の古典的不変量ライデマイスター移動について学びます。最小交点数、橋数、解消数、絡み数、彩色数について学びます。
第４回　ザイフェルト行列ザイフェルト曲面、結び目の種数、ザイフェルト行列、S同値について学びます。
第５回　演習これまで学んだことについて、問題を解いて、理解を深めます。
第６回　ザイフェルト行列とその不変量アレキサンダー多項式、及び、コンウェイ多項式を学びます。また、アレキサンダー多項式の基本的性質、結び目の符号数について学びます。
第７回　演習これまで学んだことについて、問題を解いて、理解を深めます。
第８回　トーラス結び目トーラス結び目を分類します。また、トーラス結び目の不変量について調べます。
第９回　結び目から多様体をつくるデーン手術、結び目の巡回被覆空間、アレキサンダーの定理について学びます。
第１０回　タングルと2‐橋結び目有理タングル、2橋結び目について学びます。
第１１回　組み紐の理論ブレイド、ブレイド群について学びます。また、結び目とブレイドの関係、及び、ブレイド指数について学びます。
第１２回　新しい結び目の不変量ジョーンズ多項式について学びます。また、スケイン不変量、及び、カウフマン多項式について学びます。
第１３回　演習これまで学んだことについて、問題を解いて、理解を深めます。
第１４回　テストこれまで学んだことについて、テストをします。

教科書：

『結び目理論とその応用』村杉邦男著（日本評論社）

参考書：

『結び目の数学』C.アダムス（原著）金信泰造（翻訳）（丸善出版）

『結び目理論入門（上）』村上斉著（岩波書店）

成績評価方法：

試験: 60％期末テストで評価します。

レポート: 30％授業中に出したレポートで評価します。

平常点評価: 10％出席で評価します。

備考・関連URL

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