2次元多様体の中の1次元多様体
本質的（essential）
F を 2次元多様体とし、αを F に適切に埋め込まれた閉曲線とする。
αが次を満たすとき、非本質的（inessential）という。
- F 内のディスク D で、∂D = αとなるものが存在する。
αが非本質的でないとき、本質的（essential）という。
次に、αを F に適切に埋め込まれた弧とする。
αが次を満たすとき、非本質的（inessential）という。
- F 内のディスク D で、∂D = α∪β, α∩β＝∂α＝∂β（βは∂F 内の弧）となるものが存在する。
αが非本質的でないとき、本質的（essential）という。
例題
- S2 内 に適切に埋め込まれた閉曲線は非本質的である。
- ディスク内に適切に埋め込まれた弧は非本質的である。
両側（2-sided）
F を2次元多様体とし、αを F に適切に埋め込まれた1次元多様体とする。
αが次を満たすとき、両側（2-sided）という。
αが両側でないとき、片側（1-sided）という。
練習問題
- メビウスの帯に適切に埋め込まれた本質的な閉曲線は片側であることを示せ。
分離的（separating）
F を 2次元多様体とし、αを F に適切に埋め込まれた閉曲線とする。
F-αが連結のとき、αは分離的（separating）であるという。
αが分離的でないとき、非分離的（non-separating）という。
練習問題
- トーラス内に適切に埋め込まれた本質的な閉曲線は、両側かつ非分離的であることを示せ。
- 射影平面内に適切に埋め込まれた本質的な閉曲線は、片側かつ非分離的であることを示せ。
- 2次元多様体内に適切に埋め込まれた1次元多様体が、片側ならば非分離的であることを示せ。
- 2次元多様体内に適切に埋め込まれた1次元多様体が、非分離的ならば本質的であることを示せ。
境界平行（boundary parallel, ∂-parallel）
F を 2次元多様体とし、αを F に適切に埋め込まれた1次元多様体とする。
αが次を満たすとき、境界平行（boundary parallel, ∂-parallel）という。
- 埋め込み h : α×[0, 1] → F で、h (α×{0})＝αかつ h(α×[0, 1])∩∂F＝h(∂α×[0, 1]∪α×{1}) となるものが存在する。
αが弧のときは、境界平行であることと非本質的であることは同値な条件である。
練習問題
- アニュラス内に適切に埋め込まれた1次元多様体を分類せよ。
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