3次元多様体の中の2次元多様体

本質的円盤（essential disk）

3次元多様体 M 内に適切に埋め込まれた2次元円盤 D は、次を満たすとき非本質的であるという。

∂M 内の2次元円盤 D' で ∂D'＝∂D を満たすものが存在して、D∪D' は M 内のある3次元球体の境界となっている。

D が非本質的でないとき、D は本質的であるという。

例題

3次元球体内に適切に埋め込まれた円盤は非本質的である。

練習問題

V をトーラス体、D を M 内に適切に埋め込まれた円盤とするとき、次の条件が互いに同値であることを示せ。

D が V 内で本質的である。
∂D が ∂V 内で本質的である。
M-D が連結である。

本質的球面（essential sphere）

3次元多様体 M 内に適切に埋め込まれた2次元球面 S は、次を満たすとき非本質的であるという。

M 内に3次元球体 B が存在して、∂B=S となっている。

S が非本質的でないとき、S は本質的であるという。

練習問題

3次元球面内に埋め込まれた2次元球面は非本質的であることを示せ。
S²×S¹ 内の2次元球面 S²×{0} は本質的であることを示せ。

圧縮不可能（incompressible）

M を3次元多様体とし、F を M 内に適切に埋め込まれた曲面、又は ∂M 内に含まれる曲面とする。ただし、F は2次元球面又は2次元円盤ではないとする。

M 内に次を満たす2次元円盤 D が存在するとき、D を F の圧縮円盤（compressing disk）といい、F は圧縮可能（compressible）であるという。

D∩F＝∂D、かつ ∂D は F 内で本質的な閉曲線となっている。

F が圧縮可能のとき、F を ∂D で切り開き（cut）、切り口となる2つの閉曲線に沿って D に平行な2枚の円盤を貼り合わせる（paste）と新たな曲面 F' が得られる。このような操作を圧縮（compression）といい、F' は F から D に沿って圧縮して得られたという。（一般に、このような技法を切り貼り論法（cut and paste argument）という。）

F が圧縮可能でないとき、F は圧縮不可能（incompressible）であるという。

2次元円盤と2次元球面に対しては、それらが本質的であるとき圧縮不可能、非本質的であるとき圧縮可能という。

練習問題

3次元球面内に適切に埋め込まれた本質的な曲面は存在しないことを示せ。
トーラス体内に適切に埋め込まれた本質的な向き付け可能曲面を分類せよ。

境界既約（∂-irreducible）

M を境界が空でない 3次元多様体とする。∂M が M 内で圧縮可能のとき、M は境界可約（∂-reducible）といい、圧縮不可能であるとき、M は境界既約（∂-irreducible）という。

境界圧縮不可能（boundary-incompressible、∂-incompressible）

M を3次元多様体とし、F を M 内に適切に埋め込まれた曲面とする。

M 内に次を満たす2次元円盤 D が存在するとき、D を F の境界圧縮円盤（∂-compressing disk）といい、F は圧縮可能（compressible）であるという。

D∩F＝∂D∩F＝αは F 内に適切に埋め込まれた本質的な弧
D∩∂M＝∂D-int α は ∂M 内の弧

F が境界圧縮可能のとき、F を α で切り開き、切り口となる2つの弧に沿って D に平行な2枚の円盤を貼り合わせると新たな曲面 F' が得られる。このような操作を境界圧縮（∂-compression）といい、F' は F から D に沿って境界圧縮して得られたという。

F が境界圧縮可能でないとき、F は境界圧縮不可能（∂-incompressible）であるという。

境界平行（boundary parallel、∂-parallel）

M を 3次元多様体とし、F を M に適切に埋め込まれた曲面とする。 F が次を満たすとき、境界平行（boundary parallel、∂-parallel）という。

埋め込み h : F×[0, 1] → M で、h (F×{0})＝F かつ h(F×[0, 1])∩∂M＝h(∂F×[0, 1]∪F×{1}) となるものが存在する。

本質的（essential）

3次元多様体内に適切に埋め込まれた曲面が、圧縮不可能かつ境界圧縮不可能かつ、境界平行でないとき、本質的（essential）であるという。

練習問題

ハンドル体内に適切に埋め込まれた本質的な曲面は、ディスクのみであることを示せ。