３次元多様体（3-manifold）

種数 g のハンドル体（genus g handlebody）

3次元球体 B³ は3次元多様体である。3次元球体の境界 ∂B³ は 2次元球面 S² である。
ディスク B² と円周 S¹ の直積空間 B² × S¹ をトーラス体（solid torus）という。トーラス体の境界 ∂(B² × S¹) = ∂B² × S¹ = S¹× S¹ はトーラスである。
3次元球体 B³ の境界上に、互いに交わらない 2g 個の円盤をとる。これら 2g 個の円盤を、向きを逆にする同相写像で貼り合わせて得られる3次元多様体を種数 g のハンドル体（genus g handlebody）といい、H_gで表す。

練習問題

種数 1 のハンドル体 H₁ はトーラス体であることを示せ。
∂H_g は F_g に同相であることを示せ。
H₁の基本群π₁(H₁)は無限巡回群 Z に同型であることを示せ。
一般に、π₁(H_g) は階数 g の自由群であることを示せ。

3次元球面（3-sphere）

3次元球面 S³ = { (x, y, z, w)∈R⁴ | x² + y² + z² + w² = 1 } は閉3次元多様体である。

練習問題

S³ は二つの3次元球体を、その境界で貼り合せて得られることを示せ。
S³ は二つのトーラス体を、その境界で貼り合せて得られることを示せ。
S³ は二つのハンドル体を、その境界で貼り合せて得られることを示せ。

3次元トーラス（3-dimensional torus）

3つの円周の直積空間 S¹ × S¹ × S¹ を3次元トーラス（3-dimensional torus）という。

練習問題

3次元トーラスは2つの種数 3 のハンドル体を、その境界で貼り合せて得られることを示せ。

射影空間（projective space）

3次元球体 B³ = { (x, y, z)∈R³ | x² + y² + z² ≦ 1 } の境界 { (x, y, z)∈R³ | x² + y² + z² ＝ 1 } の対心点 (x, y, z) と (-x, -y, -z) を貼り合わせて得られる閉3次元多様体を射影空間（projective space）といい、一般に RP³ で表す。

向き付け可能（orientable）

3次元多様体 X をいくつかの4面体の和に分割する。各4面体に向きを付け、各面においてキャンセルするようにできるとき、X は向き付け可能（orientable）という。X が向き付け可能でないとき、向き付け不可能（non-orientable）という。

ハンドル体、3次元球面、3次元トーラスは向き付け可能であり、射影空間は向き付け不可能である。

連結和（connected sum）

X₁, X₂を3次元多様体とし、B₁⊂ int X₁, B₂⊂ int X₂を3次元球体とする。 ∂B_i = S_i とおくと、S_i は2次元球面である。このとき、同相写像 S₁ → S₂ によって、S₁ と S₂ を同一視して X₁ - int B₁ と X₂ - int B₂ を貼り合わせる。この結果得られる3次元多様体 X を X₁とX₂の連結和（connected sum）といい、X₁#X₂で表す。逆にこのとき、X は X₁とX₂ に分解（decomposition）されるという。

3次元多様体 X の任意の分解 X = X₁#X₂ に対して、X₁ と X₂ の少なくとも一方が3次元球面となるとき、X は素（prime）であるという。ただし、3次元球面は素ではないと定める。

ヒーガード分解（Heegaard splitting）、種数（genus）

M を向き付け可能閉3次元多様体とする。 M が次のように二つの種数 g のハンドル体 V₁ と V₂ に分解できるとき、組 (V₁, V₂) を M の種数 g のヒーガード分解（genus g Heegaard splitting）という。

M = V₁ ∪ V₂, V₁ ∩ V₂ = ∂V₁ = ∂V₂

ここで、F = ∂V₁ = ∂V₂ を M のヒーガード曲面（Heegaard surface）という。F は種数 g の向き付け可能閉曲面である。 F を用いて、M のヒーガード分解を (V₁, V₂ ; F) と表すこともある。

M のヒーガード分解の最小種数

min { g | M は種数 g のヒーガード分解を持つ }

を M のヒーガード種数（Heegaard genus）といい、g(M) で表す。

練習問題

3次元球面は任意の g に対して、種数 g のヒーガード分解を持つことを示せ。
S²×S¹ は種数 1 のヒーガード分解を持つことを示せ。
任意の向き付け可能閉3次元多様体が3角形分割可能であることを用いて、ヒーガード分解を持つことを示せ。