結び目（knot）

定義

S¹₁ ∪ … ∪ S¹_n の S³ への埋め込み f : S¹₁ ∪ … ∪ S¹_n → S³、又はその像 f ( S¹₁ ∪ … ∪ S¹_n ) ⊂ S³ を 絡み目（link） という。特に、n=1 のときは 結び目（knot） という。

結び目の補空間（complement）と外部（exterior）

K ⊂ S³ を結び目とする。 S³ - K を K の 補空間（complement）という。 S³ - K は向き付け可能で連結な3次元多様体であるが、境界を持たないのでコンパクトではない。 K の正則近傍を N(K) とし、E(K) = S³ - int N(K)とおく。 E(K) を K の外部（exterior）という。 N(K) はトーラス体である。 E(K) はコンパクト、向き付け可能で連結な3次元多様体である。

自明な結び目（trivial knot）

K ⊂ S³ を結び目とする。K が次を満たすとき、自明な結び目（trivial knot）という。

2次元球面 S² ⊂ S³ で、K ⊂ S² となるものが存在する。

練習問題

次の条件が互いに同値であることを示せ。

K が自明な結び目である。
ディスク D ⊂ S³ で、D∩K＝∂D となるものが存在する。
E(K) が境界可約である。
E(K) がトーラス体である。

トーラス結び目（torus knot）

K ⊂ S³ を結び目とする。K が次を満たすとき、トーラス結び目（torus knot）という。

自明なトーラス T ⊂ S³ で、K ⊂ T となるものが存在する。

練習問題

次の条件が互いに同値であることを示せ。

K がトーラス結び目である。
E(K) 内に本質的なアニュラス A が存在して、E(K) = V₁ ∪ V₂、A = V₁ ∩ V₂と K の外部が分解される。ここで、V₁、V₂ はトーラス体とする。

サテライト結び目（satellite knot）

K ⊂ S³ を結び目とする。K が次を満たすとき、サテライト結び目（satellite knot）という。

本質的なトーラス T ⊂ E(K) が存在する。

双曲結び目（hyperbolic knot）

K ⊂ S³ を結び目とする。K が次を満たすとき、双曲結び目（hyperbolic knot）という。

E(K) 内に本質的なディスク、アニュラス、トーラスが存在しない。

従って、結び目 K が自明な結び目でもトーラス結び目でもサテライト結び目でもないとき、K は双曲結び目である。

例題

三葉結び目（3₁）はトーラス結び目である。
8の字結び目（4₁）は双曲結び目である。

連結和（connected sum）

K₁ ⊂ S³, K₂ ⊂ S³ を結び目とし、点 x₁ ∈ K₁, x₂ ∈ K₂ に対し、B₁ = S³ - int N(x₁), B₂ = S³ - int N(x₂) とおく。 ∂B_i = S_i とおくと、S_i は2次元球面であり、K_i ∩ S_i はその中の1次元球面である。

このとき、同相写像 (S₁, K₁ ∩ S₁) → (S₂, K₂ ∩ S₂) によって、S₁ と S₂, K₁ ∩ S₁ と K₂ ∩ S₂ を同一視し、 (B₁, K₁ ∩ B₁) と (B₂, K₂ ∩ B₂) を貼り合わせる。

この結果得られる結び目 K ⊂ S³ を K₁ と K₂の連結和（connected sum）といい、K₁ # K₂で表す。逆にこのとき、K は K₁ と K₂ に分解（decomposition）されるという。

結び目 K の任意の分解 K = K₁#K₂ に対して、K₁ と K₂ の少なくとも一方が自明な結び目となるとき、K は素（prime）であるという。ただし、自明な結び目は素ではないと定める。

例題

三葉結び目（3₁）は素な結び目である。