多様体（manifold）

定義

位相空間 X が次を満たすとき、X を n次元（位相）多様体という。

X はハウスドルフ空間である。
任意の点 x∈X に対し、x の近傍 U で、Rⁿ または Rⁿ₊ = { (x₁, …, x_n)∈Rⁿ | x_n≧0 }) の開集合 V と同相なものが存在する。

Rⁿ₊ に同相な近傍を持つ点 x∈X から成る集合を X の境界といい、∂X で表す。 X - ∂X を X の内部といい、int Xで表す。 X がコンパクトかつ ∂X = φ を満たすとき、X を閉n次元多様体という。 X がコンパクトでなく、かつ ∂X = φ を満たすとき、X を開n次元多様体という。

例

n次元球面 Sⁿ

Sⁿ = { (x₁, …, x_n, x_n+1)∈Rⁿ⁺¹ | x₁² + … + x_n² + x_n+1² = 1 }
n次元球面はn次元ユークリッド空間内の原点からの距離が 1 の点の集まりである。各点の近傍は Rⁿ の開集合と同相であるから、Sⁿ は n次元多様体である。また、Sⁿ はコンパクトで、∂Sⁿ = φであるから、閉n次元多様体である。

n次元球体 Bⁿ

Bⁿ = { (x₁, …, x_n)∈Rⁿ | x₁² + … + x_n² ≦ 1 }
n次元球体はn次元ユークリッド空間内の原点からの距離が 1 以下の点の集まりである。各点 (x₁, …, x_n)∈Bⁿ の近傍は、

x₁² + … + x_n² ＜ 1 のとき、Rⁿ の開集合と同相
x₁² + … + x_n² ＝ 1 のとき、Rⁿ₊ の開集合と同相

であるから、Bⁿ は n次元多様体である。また、∂Bⁿ = S^n-1 ≠φ であるから、Bⁿ は閉n次元多様体ではない。

埋め込み（embedding）

X を n 次元多様体、 Y を m (≦ n) 次元多様体とする。連続写像 f : Y → X が次を満たすとき、埋め込み（embedding）という。

f : Y → f(Y) が同相写像

また、埋め込み f : Y → X が次を満たすとき、適切（proper）という。

f(∂Y) ⊂ ∂X かつ、 f(int Y) ⊂ int X

一般の位置（general position）

X を n 次元多様体、Y_i を X 内に埋め込まれた m_i 次元多様体とする（i=1, 2）。

点 x ∈ Y₁ ∩ Y₂ の X 内での開近傍 N(x) において、３つ組 ( X ∩ N(x), Y₁ ∩ N(x), Y₂ ∩ N(x)) が ( Rⁿ, R^m₁ × {0}^n-m₁, {0}^n-m₂ × R^m₂) に同相であるとき、Y₁ と Y₂ は x において横断的（transverse）に交わっているという。また、任意の点 x ∈ Y₁ ∩ Y₂ において、横断的に交わっているとき、Y₁ と Y₂ は横断的（transverse）に交わっているという。

Y₁ と Y₂ が横断的に交わっているとき、Y₁ ∩ Y₂ はφかまたは X 内の m₁ + m₂ - n 次元部分多様体である。このとき、Y₁ と Y₂ は一般の位置（general position）にあるという。